Погодете погодете во која рака е златната топка
Уште во ерата пред Ковид (ох, кога беше тоа?) Еднаш ме замолија да учествувам во „зеленото училиште“. Покрај соодветниот одмор, средбата беше посветена и на математиката, поточно на сферата и нејзините својства. Темава најчесто се испушта во школо затоа што...па не знам зошто.
После тоа, ниту студентите по геологија не знаат што е географска должина (вистинската работа ми се случи - одржав предавање на соодветниот оддел на универзитетот). Средбата беше исклучително успешна, аплауз до раководството и тројцата наставници кои го организираа сето тоа. Наставата не е само за пренос на знаење во чекори од 45 минути од 8 до XNUMX часот или XNUMX часот. Па, сега сè е поинаку со учењето на далечина. Сè повеќе наставници разговараат како да го променат традиционалниот систем на училници во ... па што? Потсетиме дека експериментираме на „жив организам“ - деца. Каде е златната топка во која се наоѓа мудроста на животот?
Ги разгледувам студентските апликации за стипендија од Националниот детски фонд за исклучително надарени деца. Секогаш имаше доста пораки од Лесно. Тие беа во таа година, но секое второ дете (ученик од пониските одделенија) напиша: „Откако замина мојата наставничка, г-ѓа И., изгубив интерес за математиката“. Сепак, имаше многу апликации од Лублин, кои досега малку се поднесени. Загатка за читателите: во кој град се преселила г-ѓа И од Лешно? Во Лублин? Да, но како дојдовте до тоа, читатели?
Површината на сферата е сфера (од латинската сфера „топка, небо“). Овој математички термин влезе во разговорниот јазик: зборуваме за сферите на влијание на големите сили, сферата на нечии интереси и општествените сфери. „О, таа не е од нашата сфера“, рече грофицата на оваа прекрасна селска девојка во која младиот господар се заљуби. И тогаш сите го замислуваа општеството како концентрични школки, непробојни еден за друг: од една страна, ние сме во најдоброто друштво, се разбира, од друга, оваа кутра девојка, па дури и геометријата вели „Пепелашка: остани каде што си!“.
Не е тешко да се биде фасциниран од сферичната форма. Доволно е да се биде под отворено небо ноќе, далеку од градовите, по можност на висока планина во зима. Ајде да погледнеме нагоре: зарем не ја гледаме јасно небесната сфера? Далечните ѕвезди се придружуваат, наспроти нивната позадина, скитници небесни тела се движат низ поблиски сфери: планети. Птоломеј учел дека Земјата е центар на универзумот и дека е опкружена со девет концентрични кристални сфери.
Во првите седум има седум познати планети: Дијана (= Месечина), Меркур, Венера, Аполон (= Сонце), Марс, Јупитер и Сатурн. Осмата сфера ги содржела неподвижните ѕвезди. Девет часот беше како рачка што го регулира движењето на часовникот: пролетната рамноденица се движеше по нив. Во средниот век, на овој систем му била додадена десетта сфера: Главен двигател, како пролет, сè што се движи, движечка сила, тврда обвивка што го дели светот од непостоењето. Питагорејците верувале во хармонијата на сферите - дека планетите кои се движат низ нивните сфери испуштаат исклучително пријатни звуци. На крајот на краиштата, светот е бројка и музика.
На олимпијадата по математика за ученици, која ја организиравме во споменатото зелено училиште, конкуренцијата беше жестока две екипи. Па, едниот победи (33:31), другиот загуби. Како што е во спортот.
Алгоритмот за поделба на стартери во два тима е толку интересен од математичка гледна точка што ќе се задржам на него детално. Проблемот овде секако е подеднаквото квалификација на силни и слаби селекции. Но, што е стабилно? Очигледно, најдобриот избор е случаен: секој играч зема парче хартија со зборовите 1 или 2 од кутијата и оди во соодветниот тим. Но... ако превртите паричка 10 пати, само 25 проценти од времето резултатот ќе биде 5:5, што е пет глави и пет глави. Значи, гледаме дека со 75 проценти веројатност екипите ќе бидат нерамноправни.
Постои очигледно неправеден начин на кој двајца претходно назначени капитените ги избираат членовите на својот тим еден по друг: еднаш ти, па јас. Првиот капитен секогаш има предност, може да го избере најдоброто од останатите. Слично, во фудбалот, победникот на куп натпревар се одредува од пенал. Еден тим секогаш прв шутира. Работите се подобри во тенисот каде серверот е секогаш во најдобра позиција. Во игра за тај-брејк, по првиот сервис на А, вториот сервис два пати, потоа А двапати, а потоа два сервиси, наизменично Б, А, ... до предност од два победнички поени.
Овој метод исто така не е многу погоден за избор на два студентски тима. Методот што ќе го опишам е создаден од математичарите на идеја преземена од таканаречениот Штајнхаус алгоритам. Најчесто се користи во натпревари по математика, како што се предолимписките прелиминарни натпревари. Интересно е што користевме многу сличен систем во мојот двор кога сакавме да „играме фудбал“ на тогаш празниот плоштад зад куќата. Имаше многу момчиња (доаѓам од првиот бран на повоениот бејби бум).
Алгоритмот е вака. Монетата одлучува кој од капетаните (А или Б) ќе биде прв избран. Нека биде А. Тој покажува на играчот, а сега (внимание!) Капитенот Б одлучува дали овој играч ќе оди во првиот или вториот тим. И така наизменично. Едниот го избира играчот, другиот го назначува. Вториот покажува дека првиот нагласува.
Забележете ги психолошките тешкотии. Ако капитенот А го избере најдобриот, Б веднаш ќе го додаде во својот тим. Ако покаже на најслабиот, Б ќе рече: „многу добро, земи го“ ... но по некое време улогите ќе се променат. Па, како се игра?
Овде помага одредена количина на социјален инженеринг и социјална психологија. Особено кога младите се вклучени во изборот, лајковите и недопаѓањата се многу важни, а не само неопределено „ниво“. Посебно, по изборот на кој било од играчите за капитен А, капитенот Б проценува дали споменатиот соиграч (означен пријател) е субјективно во горната или долната половина од учесниците. Дали го/ја сакам или го пуштам да оди во А? Имам избор. Ако го видам наведениот член во горната половина, го земам, а ако го видам наведениот член во долната половина, го оставам. Улогата се менува, сега бодовите Б и А се квалификуваат. Тој го прави истото. Ако добро го оцени посоченото лице, тогаш го зема лично, ако греши, заминува. На овој начин, секој капетан станува подобар (или барем еднаков!) секој пат. Сите мислат дека тој го направил најдобриот избор, дека неговиот тим е подобар. Математиката може да ги задоволи луѓето дури и во такви деликатни работи.
Токму со вакви прашања се степаа натпреварувачите во моето зелено училиште. Како што можете да видите, има некои прашања. не-математички, предизвикувачки и забавен.
- Што е локсодром?
- Имате 20 топки. Која е висината на тетраедарот што може да се состои од нив? Колку топки ви се потребни за 10-слоен тетраедар?
- Го напуштив шаторот. Одев километар западно, па километар север, па километар јужно. Вака завршив во мојот шатор. Пред него седна мечка. Каква боја беше?
- Колку топчиња со дијаметар 1 ќе се вклопат во топка со дијаметар 2?
- Подреди од најмала до најголема топка што се користи во следните спортови: тенис, пинг-понг, фудбал, одбојка, кошарка, ватерполо.
- Која топка не е ниту сферична ниту овална (како во рагбито или американскиот фудбал)?
- Наведете поговорки и изреки поврзани со топката.
- Дојдете со шега која започнува со зборовите „Куршум лета до докторот“.
- Сфера е впишана во коцка со страна од 1 метар. Дали има доволно место за топка од 20 см во аголот?
- Може ли коцка со страна од 1 инч да се вклопи во сфера со радиус од 1 сантиметар?
- Како што знаете, во минатото, топовите биле навистина сферични. Денес тие не се. Што ве натера да го промените обликот на ракетите?
- Волуменот на сферата е p2 кубни сантиметри. Пресметајте ја неговата површина.
- Ова е круг со радиус
може да лежи на сфера од радиус
- Контејнерот Б содржи 100 бели топки, контејнерот В содржи 100 црни топки. Случајно избираме 10 топчиња од контејнерот Б и ги пуштаме во В. Од 110 топчиња моментално во Ц, по случаен избор избираме 10 и ги ставаме во Б. Дали има повеќе црни топки во Б или бели топки во Ц?
- Каква форма може да биде сенката на топката?
- Која паралела на Земјата е половина од должината на екваторот?
- Планетата Т е рамномерно покриена со трева. Во одреден момент на планетата, коза е врзана. Колку долго треба да биде синџирот за да може козата да достигне точно половина од тревата на планетата?
- Во песната беше застрелан Пан Тадеуш Столник. Чија пушка била погодена со куршум?
- Колку зборови со четири букви (значајни или не) може да се формираат со преуредување на буквите во зборот КУЛА?
- Дали има топка што ги допира сите рабови на коцката? Ако е така, пресметајте го неговиот радиус. Ако не, оправдајте.
Коментари. Предлагам да дознаам (од кој Интернет?) Што е Локсодром.
Задачата 2 е доста тешка. Дваесет идентични топчиња може да се направат во тетраедар 10 + 6 + 3 + 1 (десет топки на дното, потоа шест, три и една). Таквиот блок има четири слоја, но е помалку од четири пати поголем од дијаметарот на секоја сфера - топчињата паѓаат во вдлабнатините на долниот кат.
Сепак ќе разговарам за овој предизвик... Јас нема да одлучам. Ќе го оставам тоа на расположениот читател. Мислам, меѓу другите и на мојот пријател Казимиер од Шчечин. Казиу - дефинитивно ќе ви се допадне. На крајот на краиштата, задачата ја поврзуваме со училиштето. Ова е купот што го гледаме на фотографијата. Овие портокали беа многу добри... Секој продавач знае дека најдобро е да ставите јаболка, портокали, лимони и други вакво тврди плодови (доматите може да се распарчат). Па, дури на крајот на минатиот век беше решен проблемот што го постави Јоханес Кеплер во 1610 година, имено, како математички да се покаже дека тоа е навистина најдобриот начин. Поточно, еднаквите сфери го заземаат најмалото место во просторот со овој распоред. Ова е нешто помалку од 75 проценти. Ова е возбудлив математички проблем бидејќи се појавува на големи простори, но тоа е повторно тема за друга статија.
Училиштето во кое одев, добро, пред многу време, имаше уште единаесет години. Во претпоследното, десетто одделение, цела година беше најмногу геометрија и тригонометрија. Се сеќавам на серијата проблеми на Хенрик Пашњевски - што немаше? Тетраедрите, призмите и пирамидите се сечат на сите можни начини. О, да, патерици беа малку. Бидејќи е тешко, дури ни цртањето не е лесно.
Оттогаш, тригонометријата на училиште е многу скратена, дегенерирана. Како и секој старец, имам тенденција да се сеќавам дека сè „тогаш“ беше подобро. Ова, се разбира, не е точно. Не сите. Тригонометријата повеќе не е толку потребна во секојдневната работа на инженер и геодет. Веќе не се потребни дрвени триангулациони кули на планинските врвови. Една од најголемите згради се наоѓала во Љубан на улицата Крошченко. Тој дури имаше и планинско име „патрија“. Добро, доста од овие дигресии. Ајде да ја погледнеме сликата. Прво, ја одредуваме должината на отсечката s. Тоа е агол од 60 степени. Од AC наоѓаме BC, потоа висината BH. Но, ова е висината на страничниот ѕид на нашата портокалова пирамида. Оттука, висината на пирамидата се добива со множење на HV со синусот на аголот на наклонот на ѕидот кон основата, што ... исто така треба да се пресмета, но ова е лесно и стандардно.
Може ли да кажам дека "решена задача“. За жал, ова го поврзувам со се пораспространето учење на далечина. Седам пред екранот и „разговарам со сликата“, а учениците - затоа што јас ги учам - мора да работат според моите упатства. Како и да е, така научив Мајкрософт Тимс, Инспери и други гаџети за изведување на вакви часови. Инструкторот беше дома, јас бев дома, сите си го пиеја кафето, тој „зборуваше со сликата“, а јас се обидував да имитирам.
→ Во училиштето каде што предавам веќе знаат дека и кога ќе се „врати нормалноста“, предавањата ќе продолжат во истиот дух. Оваа форма има многу предности. Ова е тема за друга статија. Ова го прави уште подобро за оние кои...сакаат да учат.
→ За жал, ги нема толку многу како што ни се чини нам, наставниците. Доцнав да ја поднесам оваа статија до уредникот, но ако го читате ова, тогаш добро заврши. Имено, бев фрустриран од однесувањето на бруцошите, на кои им дадов премногу слобода за време на испитот. Ќе извлечам заклучоци и ќе се вратат „полициските“ методи. А моето расположение значеше дека наместо да го завршам текстот, отидов на долга прошетка низ снежните полиња во близина на Варшава. Беше ладно, ми беше ладно...
→ Да се вратиме на натпреварот со топката. Прашањето 6 може да се одговори со ножовка или смачкана топка за пинг-понг. Најдобрата шега (задача 8) беше онаа каде што куршумот му се жали на докторот: „Не знам што ми е, но целосно сум збунет“. Имаше и еден добар, во кој куршумот се пожали на сјајни болки и дека пука во дијаметар. Поговорката поврзана со топката (задача 7) е ставена во насловот на статијата, знаеме и што е топката кај нозете (ова е Земјата, нели?). Задачата со боја на мечка има долга брада (се разбира, мечката беше бела, бидејќи таква рута е можна само во поларните региони).
Топовите (проблема 11) повеќе не се сферични бидејќи можеме да направиме цевки со навој, што му дава ротационо движење на проектилот.
Прашањето 13 се покажа интересно.Подоцна дури им ги дадов на учениците. Тие се обидоа да направат пресметки кои не беа многу разумни, беа згрозени од елементот на 17. Во меѓувреме, задачата е тривијална. Сферата со даден радиус е мала, додека кругот е голем. Нема да одговара. На прашањето бр. 18, точниот одговор бил: Московјанец кому Јацек Соплица му ја грабнал пушката. Учениците погрешно одговориле: Јацек.
Ќе се вратам на сферата, бидејќи многу ме привлекува. А доказ е следнава „ода на сферичното“.
Куло! Ти си мое! Голем или мал
Исти сте на крајот.
Сакам да ја испеам сета твоја убавина денес.
Можам да правам равенки. Но, јас ќе напишам ода!
Колку да цени, само ќе знае
Кој те видел. Но, вашата убавина во сета своја декорација
Тие што учеле во зеленото училиште во Славков ќе го ценат!
Вашата убавина се протега од центарот до рабовите!
Сите се подеднакво привлечени од вашата геометрија.
Јас сум од мало дете, од предучилишна возраст,
Отсекогаш сум сакал да разберам зошто си ваков.
Колку болно звучеа овие татковски зборови:
„Ќе знаеш кога ќе пораснеш. Денес си премногу мал!
Кога бев момче и невино дете
Четири третини сакаа да ја дознаат вашата тајна
И колку длабоко беше срцето
Кога го сакав твојот таен четирикатен плоштад.
Проголтав многу минлива младост
Интегрирање на вашите основни кругови во мислата,
И кога лицето на младината беше покриено со стрништа,
Видов триаголник со три прави агли
Таа има. И веднаш можев да разберам колку е убава.
Геометријата на површината е елипсовидна.
И како младиот човек беше под влијание на Оском,
Кога таа конечно ми ја покажа нејзината линија на ритам
Што е секој меридијан?
Со истиот агол на сечење ... и тоа следува
Дека должината на кривата расте до бесконечност,
И дека двата пола се испреплетени со љубовта.
Подоцна, гледајќи го вашиот Риманов тензор
Ги пресметав површините на нивите до утрото
И на твојата површина благодатно наречена сфера,
Главните кривини никогаш не отидоа на нула.
Затоа, останете ми доследни, непоколебливи, хомогени,
Исто толку слатко и смешно во секој поглед.
Секогаш оставајте само тркалезни делови!
Повеќе од еднаш моето срце ќе копнее по тебе.
Нека младите сега, не знаејќи сива коса,
Ги проучуваат твоите облини, непознати за Гаус.
