Статијата е за ништо

Како дете бев фасциниран од приказната, веројатно позната на многу читатели, за „супа на шајка“. Баба ми (родена во XNUMX век) ми го кажа ова во верзијата „Дојде еден козак и побара вода, затоа што имаше шајка и ќе готви супа со неа“. Љубопитната домаќинка му дала тавче со вода... и знаеме што се случило потоа: „чорбата да биде солена, даитја, бабо, посолете“, потоа го изми месото „да се подобри вкусот“ и така натаму. На крајот го фрлил „варениот“ клинец.

Значи, оваа статија требаше да биде за празнината на вселената - а ова е за слетувањето на европското летало на кометата 67P/Чурумов-Герасименко на 12 ноември 2014 година. Но додека пишував, подлегнав на долгогодишна навика , јас сум сеуште математичар. Како е со Допаѓас Нула математика?

Како ништо не постои?

Не може да се каже дека Ништо не постои. Таа постои барем како филозофски, математички, религиозен и целосно разговорен концепт. Нулата е обична бројка, нула степени на термометар е исто така температура, а нултата состојба во банка е непријатна, но вообичаена појава. Забележете дека не постои нулта година во хронологијата, а тоа е затоа што нулата била воведена во математиката дури во доцниот среден век, подоцна од хронологијата предложена од монахот Дионисиј (XNUMX век).

Доволно чудно, ние всушност би можеле без оваа нула и затоа без негативни броеви. Во еден од учебниците по логика најдов вежба: нацртајте или кажете како го замислувате отсуството на риба. Неверојатно, нели? Секој може да нацрта риба, но отсуството на една?

Сега накратко курс по основна математика. Давањето на привилегијата за постоење на празно множество, означено со прецртана кружница ∅, е неопходна постапка аналогна на додавање нула на множеството броеви. Празното множество е единственото множество кое не содржи никакви елементи. Вакви колекции:

Но, нема две различни празни множества. Празното множество е вклучено во секој друг сет:

Навистина, правилата на математичката логика велат дека множеството А е содржано во множеството Б ако и само ако реченицата:

ова повлекува

Во случај на празно множество ∅, предлогот е секогаш неточен, и затоа, според законите на логиката, импликацијата како целина е вистинита. Сè произлегува од лагата („Ќе пораснам кактус ако се преселиш во следната класа…“). Сега, бидејќи празното множество е содржано во секое од другите, ако тие беа две различни, секој од нив ќе беше содржан во другиот. Меѓутоа, ако две множества се содржани еден во друг, тие се еднакви. Еве зошто: има само еден празен сет!

Постулатот за постоењето на празното множество не е во спротивност со ниеден математички закон, па зошто да не го оживееме? Филозофски принцип нареченОкамовиот брич„Со цел да се исклучат непотребните концепти, но точно концептот на празно множество е многу корисен во математиката. Ве молиме имајте предвид дека празното множество има димензија од -1 (минус еден) - нулта-димензионалните елементи се точки и нивните ретки системи, еднодимензионалните елементи се линии, а зборувавме за многу сложени математички елементи со фрактална димензија во поглавјето за фрактали.

Интересно е што целата зграда на математиката: броеви, цифри, функции, оператори, интеграли, диференцијали, равенки... може да се изведе од еден концепт - празното множество! Доволно е да се претпостави дека има празно множество, новосоздадените елементи може да се комбинираат во множества за да може изградете ја целата математика. Така германскиот логичар Готлоб Фреге конструирал природни броеви. Null е класа на множества чии елементи се во меѓусебна кореспонденција со елементите на празното множество. Едниот е класа на множества чии елементи се во меѓусебна кореспонденција со елементите на множеството чиј единствен елемент е празното множество. Два е класа на множества чии елементи се еден-на-еден со елементите на множеството кое се состои од празното множество и множеството чиј единствен елемент е празното множество... и така натаму. На прв поглед ова изгледа како нешто многу комплицирано, но во реалноста не е.

Синиот се рашири над мене,

мирисаше на хедер и мирисаше на нане...

Војчех Млинарски, „Девојка од жетвата“

Тешко е да се замисли

Ништо не е тешко да се замисли. Во приказната на Станислав Лем „Како светот беше спасен“, дизајнерот Трул изгради машина што ќе направи сè, почнувајќи од писмото. Кога Клапаукиус наредил да се изгради Nic, машината почна да отстранува разни предмети од светот - со крајна цел да отстрани се. До моментот кога преплашениот Клапаукиус ја запре колата, галиите, тисите, висечките, чкртаниците, римите, венците, пуфовите, брусниците, плукањата, филидроните и мразовите исчезнаа од светот засекогаш. И навистина, тие исчезнаа засекогаш...

Јозеф Тишнер напишал многу добро за ништожноста во неговата Историја на планинската филозофија. За време на последниот одмор решив да ја доживеам оваа ништожност, имено, отидов во тресетните мочуришта меѓу Нови Тарг и Јаблонка во Подале. Оваа област се нарекува дури и Pustachia. Возите и возите, но патот не се намалува - се разбира, во нашата скромна полска скала. Еднаш патував со автобус низ канадската провинција Саскачеван. Надвор од прозорецот имаше поле со пченка. Дремев половина час. Кога се разбудив, возевме низ истото поле со пченка... Но чекај, празно ли е? Во извесна смисла, отсуството на промена е едноставно празнина.

Навикнати сме на постојано присуство на разни предмети околу нас, и од Нешто не можете да избегате ни со затворени очи. „Мислам, значи постојам“, рекол Декарт. Ако веќе сум размислувал за нешто, тоа значи дека постојам, а тоа значи дека има барем нешто во светот (имено јас). Дали постои тоа што го мислев? За ова може да се дискутира, но во модерната квантна механика е познат принципот на Хајзенберг: секое набљудување ја нарушува состојбата на набљудуваниот објект. Се додека не го видиме Nic не постои, а кога ќе почнеме да гледаме, објектот престанува да биде Допаѓа и станува Нешто. Ова води кон апсурд антропски принцип: Нема смисла да се прашуваме каков би бил светот да не постоеме ние. Светот е како што ни изгледа. Можеби другите суштества ќе ја видат Земјата како аголна?

Позитрон (таков позитивен електрон) е дупка во вселената, „нема електрон“. За време на процесот на уништување, електрон скока во оваа дупка и „ништо не се случува“ - нема ниту дупка ниту електрон. Ќе ги прескокнам многуте шеги за дупките во швајцарското сирење („колку повеќе имам, толку помалку има…“). Познатиот композитор Џон Кејџ веќе толку многу ги искористил своите идеи што компонирал (?) музичко дело (?) во кое оркестарот седи неподвижен 4 минути 33 секунди и, се разбира, не свири ништо. „Четири минути и триесет и три секунди се двесте седумдесет и три, 273, а минус 273 степени е апсолутна нула, на која секое движење запира“, објасни композиторот (?).

Филтрирај на нула, ништо, ник, ник, ништо, нула!

Јержи во филмот на Анджеј Вајда Низ годините,

деновите минуваат“

Како за сè?

Многу луѓе (од едноставни одгледувачи на жито до истакнати филозофи) се прашуваа за феноменот на постоењето. Во математиката ситуацијата е едноставна: има нешто што е конзистентно.

Таа исчезна во рабните полиња

Во пченкарните цветови, плевелите и лавовите усти...

Па, овие работи се случуваат

Особено во жетвата, и за време на жетвата

особено…

Војчех Млинарски, „Девојка од жетвата“

Сè е на другата крајност од Ништо. Во математиката е познато дека Сè не постои. Едноставно е премногу неточно да се замисли дека неговото постоење би било без контроверзии. Ова може да се разбере со примерот на стариот парадокс: „Ако Бог е семоќен, тогаш создај камен да го кренеш?“ Математичкиот доказ дека не може да има множество од сите множества се заснова на теоремата пејачот-Берштајн, што вели дека „бесконечен број“ (математички: кардинален број) множеството на сите членови на даденото множество е поголемо од бројот на елементите на ова множество.

Ако множеството има елементи, тогаш има 2ⁿ подмножества; на пример, кога = 3 и множеството се состои од {1, 2, 3}, тогаш постојат следните подмножества:

• три множества со два елементи: на секој од нив недостасува по еден од броевите 1, 2, 3,
• еден празен сет,
• три сетови синглтон,
• цел сет {1,2,3}

– вкупно осум, 2³И за читателите кои неодамна дипломирале на училиште, би сакал да ве потсетам на соодветната формула:

Секој од Њутновите симболи во оваа формула го одредува бројот на множества k-елементи во множеството -елементи.

Во математиката, биномните коефициенти се појавуваат на многу други места, како на пример во интересни скратени формули за множење:

а од нивната точна форма она што е многу поинтересно е нивната меѓузависност.

Тешко е да се разбере што – што се однесува до логиката и математиката – е, а што не. Аргументи во полза на непостоењето Исто како оние на Вини Пу, кој учтиво го прашал својот гостин Тигер, дали Тигрите сакаат дури и мед, желади и трн? „На тигрите им се допаѓа сè“, одговори тој, од кој Кубус заклучи дека ако им се допаѓа сè, тоа значи дека сакаат и да спијат на подот, па затоа, тој, Вини, може да се врати во кревет.

Друг аргумент Раселовиот парадокс. Во градот има бербер кој ги бричи сите мажи кои не се бричат ​​сами. Дали сам се бричи? И двата одговора се во спротивност со наведениот услов да ги убијат оние, и само оние што не го прават тоа сами.

Во потрага по колекција од сите колекции

Како заклучок, ќе дадам паметен, но најматематички доказ дека не постои множество од сите множества (да не се меша со него).

Прво, ќе покажеме дека за секое непразно множество X е невозможно да се најде взаемно единствена функција која го пресликува ова множество со множеството од неговите подмножества P(X). Значи, да претпоставиме дека оваа функција постои. Да го наречеме традиционален ѓ. Што е f од x? Ова е колекција. Дали xf припаѓа на x? Ова е непознато. Или мораш или не. Но, за некои x сепак мора да биде таква што не припаѓа на f од x. Па, тогаш разгледајте го множеството од сите x за кои x не припаѓа на f(x). Да го означиме (ова множество) со A. Одговара на некој елемент a од множеството X. Дали a припаѓа на A? Да претпоставиме дека треба. Но, A е множество кое ги содржи само оние елементи на x кои не припаѓаат на f(x)... Па, можеби тоа не припаѓа на А? Но, множеството А ги содржи сите елементи на ова својство, а со тоа и A. Крај на докажувањето.

Според тоа, кога би имало множество од сите множества, тоа само по себе би било подмножество од себе, што според претходното размислување е невозможно.

Уф, мислам дека многу читатели не ги прочитале овие докази. Наместо тоа, го изложувам за да покажам што требаше да направат математичарите на крајот на деветнаесеттиот век кога почнаа да ги проучуваат основите на сопствената наука. Се покажа дека проблемите се таму каде што никој не ги очекуваше. Покрај тоа, за целата математика овие аргументи за основите се ирелевантни: без разлика што се случува во подрумите - целата зграда на математиката стои на цврста карпа.

Во меѓувреме, на највисоко ниво ...

Да забележиме уште еден морал од приказните на Станислав Лем. Во едно од неговите патувања, Ајон Тичи стигна до планета чии жители, по долга еволуција, конечно стигнаа до највисоката фаза на развој. Сите се силни, можат се, имаат се на дофат на раката... а ништо не прават. Лежат на песокот и го истураат меѓу прстите. „Ако сè е можно, не вреди“, му објаснуваат на шокираниот Јијонг. Да не и се случи ова на нашата европска цивилизација...