обратен шарм
Многу се зборува за „убавината на спротивностите“, и тоа не само во математиката. Запомнете дека спротивни броеви се оние кои се разликуваат само по знак: плус 7 и минус 7. Збирот на спротивните броеви е нула. Но, за нас (т.е. математичарите) поинтересни се реципрочните бројки. Ако производот на броевите е еднаков на 1, тогаш овие броеви се инверзни еден од друг. Секој број има своја спротивност, секој ненулти број има своја инверзна. Инверзната на инверзната е семето.
Инверзија настанува секаде каде што две количини се поврзани една со друга така што ако едната се зголемува, другата се намалува со соодветна брзина. „Соодветно“ значи дека производот од овие количини не се менува. Се сеќаваме од училиште: ова е обратна пропорционалност. Ако сакам да стигнам до мојата дестинација за половина од времето (т.е. да го преполовам времето), треба да ја удвојам брзината. Ако го намалите волуменот на запечатен сад со гас за n пати, тогаш неговиот притисок ќе се зголеми за n пати.
Во основното образование, внимателно правиме разлика помеѓу диференцијални и релативни споредби. „Уште колку“? - „Колку пати повеќе?
Еве неколку училишни настани:
Работа на 1. Од две позитивни величини, првата е 5 пати поголема од втората и во исто време 5 пати поголема од првата. Кои се димензиите?
Работа на 2. Ако еден број е поголем од вториот за 3, а вториот е поголем од третиот за 2, тогаш колку е поголем првиот број од третиот? Ако првиот позитивен број е двојно поголем од вториот, а првиот е трикратен од третиот, тогаш колку пати првиот број е поголем од третиот?
Работа на 3. Во задача 2, дозволени се само природни броеви. Дали е можно договор како што е опишано таму?
Работа на 4. Од две позитивни величини, првата е 5 пати поголема од втората, а втората е 5 пати поголема од првата. Дали е можно?
Концептот на „просечен“ или „просечен“ изгледа многу едноставен. Ако возев 55 км во понеделник, 45 км во вторник и 80 км во среда, просечно поминував 60 км на мојот велосипед дневно. Сесрдно се согласуваме со овие пресметки, иако се малку чудни затоа што никогаш не сум возел 60 километри во еден ден. Ние, исто така, лесно ги прифаќаме акциите на една личност: ако двесте луѓе посетат ресторан во рок од шест дена, тогаш просечната дневна стапка е 33 и третина луѓе. Хм!
Проблеми има само со средната големина. Сакам да возам велосипед. Така ја искористив понудата на туристичката агенција „Дојди со нас“ - тие доставуваат багаж до хотелот каде клиентот оди со велосипед за рекреативни цели. Во петокот возев четири часа: првите два со брзина од 24 км на час. Тогаш бев толку уморен што следните два правев само 16 на час. Која беше мојата просечна брзина? Секако (24+16)/2=20km=20km/h.
Меѓутоа, во саботата багажот беше оставен во хотелот, а јас отидов да ги видам урнатините на замокот, оддалечен 24 километри, и откако ги видов, се вратив. Возев еден час во еден правец и се враќав побавно, со брзина од 16 км на час. Која беше мојата просечна брзина на релација хотел-замок-хотел? 20 км на час? Се разбира не. На крајот на краиштата, возев вкупно 48 км и ми требаше час („таму“) и час и половина назад. 48 км за два и пол часа, т.е. час 48/2,5=192/10=19,2 км! Во оваа ситуација, просечната брзина не е аритметичка средина, туку хармоника на дадените вредности:
а оваа двоспратна формула може да се прочита на следниов начин: хармоничната средина на позитивните броеви е реципрочна на аритметичката средина на нивниот реципрочен. Во многу рефрени училишни задачи се појавува инверзата на збирот на инверзите: ако едниот работник копа со часови, другиот б часа, тогаш, работејќи заедно, копаат на време. базен со вода (еден на час, другиот на шест часа). Ако едниот отпорник има R1, а другиот има R2, тогаш тие имаат паралелен отпор.
Ако еден компјутер може да реши проблем за секунди, друг компјутер за б секунди, тогаш кога работат заедно ...
Стоп! Тука завршува аналогијата, бидејќи сè зависи од брзината на мрежата: ефикасноста на врските. Работниците исто така можат да се попречуваат или помагаат едни со други. Ако еден човек може да ископа бунар за осум часа, дали осумдесет работници можат да го направат тоа за 1/10 од час (или 6 минути)? Ако шест носачи испорачаат пијано на првиот кат за 6 минути, колку време ќе му треба на еден од нив да го достави клавирот до шеесеттиот кат? Апсурдноста на ваквите проблеми нè тера да се потсетиме на ограничената применливост на целата математика за проблемите од „реалниот живот“.
Почитуван продавач
Вагите повеќе не се користат. Да потсетиме дека на едната чинија од таква вага се ставаше тег, на другата се ставаше вагата што се мери, а кога тежината беше во рамнотежа, робата тежеше исто како и тежината. Се разбира, двете краци на тежината мора да бидат со иста должина, во спротивно мерењето ќе биде неправилно.
О, во право. Замислете продавач кој има тежина со нееднакви раменици. Сепак, тој сака да биде искрен со клиентите и ја мери робата во две серии. Прво, на едната тава става тег, а на другата соодветна количина стока, така што вагата е во рамнотежа. Потоа ја мери втората „половина“ од робата во обратен редослед, односно ја става тежината на втората тава, а робата на првата. Бидејќи рацете се нееднакви, половините никогаш не се еднакви. И продавачот има чиста совест, а купувачите ја фалат неговата чесност: „она што го отстрани овде, го додаде подоцна“.
Сепак, ајде внимателно да го разгледаме однесувањето на продавачот кој сака да биде искрен и покрај несигурната тежина. Нека краците на вагата имаат должини a и b. Ако еден од чиниите е натоварен со килограм тежина, а другиот е натоварен со x стока, тогаш вагата е во рамнотежа ако ax = b првиот пат и bx = a вториот пат. Значи, првиот дел од производот е еднаков на b/a килограми, вториот дел е еднаков на a/b. Добрата тежина има a = b, што значи дека купувачот ќе добие 2 kg стока. Ајде да видиме што се случува кога a ≠ b. Тогаш a – b ≠ 0 и од скратената формула за множење имаме
Дојдовме до неочекуван резултат: навидум фер методот на „просечно“ мерење во овој случај работи во корист на купувачот, кој добива повеќе стоки.
Задача 5. (Важно, воопшто не во математиката!). Еден комарец тежи 2,5 милиграми, а слон пет тони (ова се сосема точни податоци). Пресметај ја аритметичката, геометриската и хармоничната средина на масите (тежините) на комарецот и слонот. Проверете ги пресметките и видете дали имаат некаква смисла освен аритметичките вежби. Ајде да погледнеме други примери на математички пресметки кои немаат смисла во „реалниот живот“. Совет: Веќе разгледавме еден пример во оваа статија. Дали ова значи дека анонимниот студент чие мислење го најдов на Интернет беше во право: „Математиката ги глупира луѓето со бројки“?
Да, се согласувам дека во грандиозноста на математиката можете да ги „залажете“ луѓето - секоја втора реклама за шампон вели дека го зголемува разлетувањето за одреден процент. Дали ќе бараме повеќе примери на корисни секојдневни алатки кои можат да се користат за криминални активности?
Грама!
Насловот на овој пасус е глагол (прво лице множина) наместо именка (номинативна множина од еден илјадити дел од килограм). Хармонијата претпоставува ред и музика. За старите Грци, музиката била гранка на науката - додуша, ако се каже така, сегашното значење на зборот „наука“ го пренесуваме на времето пред нашата ера. Питагора живеел во XNUMX век п.н.е. Не само што не знаел компјутер, мобилен телефон и е-пошта, туку не знаел ниту кои се Роберт Левандовски, Миешко I, Карло Велики и Цицерон. Не знаел арапски, па дури и римски бројки (тие влегле во употреба околу 5 век п.н.е.), не знаел што се Пунските војни... Но знаел музика...
Тој знаел дека на жичаните инструменти коефициентите на вибрации се обратно пропорционални со должината на вибрирачките делови на жиците. Знаеше, знаеше, едноставно не можеше да го искаже тоа како ние денес.
Фреквенциите на двете вибрации на жици кои сочинуваат октава се во сооднос 1:2, односно фреквенцијата на повисоката нота е двојно поголема од фреквенцијата на долната нота. Точниот сооднос на вибрации за петто е 2:3, четвртиот е 3:4, чистата главна третина е 4:5, малата третина е 5:6. Ова се пријатни интервали на согласки. Потоа има две неутрални, со сооднос на вибрации од 6:7 и 7:8, потоа дисонантни - голем тон (8:9), мал тон (9:10). Овие дропки (односи) се слични на односот на последователните членови на низата, кои математичарите (поради оваа причина) ги нарекуваат хармонична серија:
– теоретски бесконечна сума. Односот на октавните вибрации може да се напише како 2:4 и да се стави петтина меѓу нив: 2:3:4, односно ја делиме октавата на петта и четврта. Ова се нарекува делење на хармониски сегменти во математиката:
Ориз. 1. За музичар: делење на октавата AB со петтата AC.За математичарот: хармонска сегментација
Што мислам кога зборувам (погоре) за теоретски бесконечен збир, како што е хармонична серија? Излегува дека таквата сума може да биде која било голема бројка, главната работа е што додаваме доволно долго. Состојките стануваат се помалку и помалку, но ги има се повеќе и повеќе. Што преовладува? Овде влегуваме во областа на математичката анализа. Излегува дека состојките се исцрпени, но не многу брзо. Ќе покажам дека, со оглед на доволно состојки, можам да направам сума:
произволно големи. Да го земеме за пример n = 1024. Да ги групираме зборовите како што е прикажано на сликата:
Во секоја заграда, секој збор е поголем од претходниот, освен, се разбира, последниот, кој е еднаков на самиот себе. Во следните загради имаме 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 512 компоненти; вредноста на збирот во секоја заграда е поголема од ½. Сето ова е повеќе од 5½. Попрецизни пресметки би покажале дека оваа сума е приближно 7,50918. Не многу, но секогаш, и можете да видите дека со земање на n која било голема, можам да победам кој било број. Овој неверојатно бавен (на пример, надминуваме десет само со состојки), но бескрајниот раст отсекогаш ги фасцинирал математичарите.
Патување до бесконечноста со хармонична серија
Еве една загатка за прилично сериозна математика. Имаме неограничено снабдување со правоаголни блокови (што велам јас, правоаголни!) со димензии, да речеме, 4 × 2 × 1. Размислете за систем кој се состои од неколку (на сл. 2 - четири) блокови лоцирани така што првиот е наклонет за ½ од неговата должина, вториот одозгора за ¼ и така натаму, третиот за една шестина. Па, можеби за да биде навистина стабилно, ајде да ја навалиме првата тула малку помалку. За пресметки ова не е важно.
Ориз. 2. Определување на центарот на гравитација
Исто така, лесно е да се разбере дека бидејќи фигурата составена од првите два блока (броејќи од горе) има центар на симетрија во точката Б, тогаш B е центар на гравитација. Дозволете ни геометриски да го одредиме центарот на гравитација на систем составен од три горни блока. Овде ќе биде доволен многу едноставен аргумент. Ајде ментално да го поделиме составот од три блокови на два горни и трет долен. Овој центар мора да лежи на делот што ги поврзува центрите на гравитација на двата дела. Во кој момент од оваа епизода?
Постојат два начини на означување. Во првото, ќе го искористиме набљудувањето дека овој центар треба да лежи во средината на пирамидата со три блокови, односно на правата линија што го пресекува вториот, среден блок. Во вториот метод, сфаќаме дека со оглед на тоа што горните два блока имаат вкупна маса двапати поголема од единечниот блок #3 (горе), тежиштето на овој дел мора да биде двапати поблиску до B отколку до центарот S на третиот блок. Слично на тоа, ја наоѓаме следната точка: го поврзуваме пронајдениот центар на трите блока со центарот S од четвртиот блок. Центарот на целиот систем е на висина 2 и во точката што го дели сегментот со 1 до 3 (т.е. со ¾ од неговата должина).
Пресметките што ќе ги извршиме малку понатаму водат до резултатот прикажан на сл. карактеристика. 3. Последователните центри на гравитација се отстранети од десниот раб на долниот блок со:
Така, проекцијата на центарот на гравитација на пирамидата е секогаш во рамките на основата. Кулата нема да се урне. Сега да погледнеме сл. 3 а за момент да го искористиме петтиот блок од горе како основа (оној означен со посветла боја). Навалена одозгора:
така што неговиот лев раб е за 1 подалеку од десниот раб на основата. Еве го следниот замав:
Кој е најголемиот замав? Ние веќе знаеме! Не постои најголемо! Земајќи ги и најмалите блокови, можете да добиете настрешница од еден километар - за жал, само математички: целата Земја не би била доволна за да изгради толку многу блокови!
Ориз. 3. Додадете повеќе блокови
Сега пресметките што ги оставивме погоре. Ќе ги пресметаме сите растојанија „хоризонтално“ на оската x, бидејќи за тоа се работи. Точката А (тежиштето на првиот блок) е 1/2 од десниот раб. Точката Б (центарот на системот со два блока) се наоѓа на 1/4 од десниот раб на вториот блок. Нека крајот на вториот блок биде почетна точка (сега ќе преминеме на третиот). На пример, каде е центарот на гравитација на единечен блок #3? Половина од должината на овој блок, затоа е отстранета од нашата референтна точка за 1/2 + 1/4 = 3/4. Каде е точката C? Во две третини од сегментот помеѓу 3/4 и 1/4, т.е. во точката до, ја менуваме почетната точка на десниот раб на третиот блок. Центарот на гравитација на системот со три блокови сега е отстранет од новата референтна точка итн. Центар на гравитација Cn на кула составена од n блокови е оддалечена 1/2n од моменталната референтна точка, која е десниот раб на основниот блок, односно n-тиот блок од врвот.
Бидејќи серијата реципроци се разминува, можеме да добиеме која било голема варијација. Дали ова навистина може да се реализира? Тоа е како бескрајна кула од тули - порано или подоцна ќе се урне под сопствената тежина. Во нашата шема, минималните неточности во поставувањето на блоковите (и бавното зголемување на делумните суми на редови) значат дека нема да стигнеме многу далеку.
