Геометриски патеки и грмушки

Додека ја пишував оваа статија, се сетив на една многу стара песна на Јан Пиетрзак, која ја пееше пред неговите сатирични активности во кабарето Pod Egidą, препознаено во Полската Народна Република како сигурносен вентил; можеше искрено да се насмее на парадоксите на системот. Во оваа песна авторот препорача социјалистичко политичко учество исмевајќи ги оние кои сакаат да бидат аполитични и исклучувајќи го радиото во весникот. „Подобро е да се вратиме на училишното читање“, иронично пееше тогаш 19-годишниот Пјетрзак.

Се враќам на училиште и читам. Ја препрочитувам (не за прв пат) книгата на Шчепан Јеленски (1881-1949) „Лилавати“. За малкумина читатели, самиот збор кажува нешто. Тоа е името на ќерката на познатиот хинду математичар познат како Баскара (1114-1185), наречена Акарија, или мудрец, кој ја насловил својата книга за алгебра со ова име. Лилавати подоцна стана познат математичар и филозоф и самата. Според други извори, таа самата ја напишала книгата.

Шчепан Јеленски ја именувал својата книга за математика на ист начин (прво издание – 1926 година). Можеби е тешко оваа книга дури и да се нарече математичко дело - таа беше повеќе како збир на загатки, главно копирани од француски извори (немаше авторско право во модерна смисла). Во секој случај, долги години таа беше единствената полска популарна книга за математика - подоцна на неа беше додадена втората книга на Јеленски, „Сладамите на Питагора“. Така, младите заинтересирани за математика (што е токму она што јас некогаш бев) немаа од што да изберат...

од друга страна, „Лилавати“ мораше да се знае скоро напамет... Ех, имаше моменти... Нивната најголема предност беше што јас бев... тинејџер. Денес, од гледна точка на добро образован математичар, на Лилавати гледам на сосема поинаков начин - можеби како алпинист на кривините на патеката до Шпигласова Пржелеч. Ниту едното ниту другото не го губат шармот... Во свој карактеристичен стил, Шепан Јеленски, кој во личниот живот ги исповеда таканаречените национални идеи, во предговорот пишува:

Без да го допирам описот на националните карактеристики, ќе кажам дека и по деведесет години, зборовите на Еленски за математиката не ја изгубиле својата важност. Математиката ве учи да размислувате. Тоа е факт. Можеме ли да ве научиме да размислувате поинаку, поедноставно и поубаво? Можеби. Само...сè уште не можеме. Им објаснувам на моите ученици кои не сакаат да прават математика дека тоа е и тест за нивната интелигенција. Ако не можете да научите навистина едноставна математичка теорија, тогаш...можеби вашите ментални способности се полоши отколку што ние двајцата би сакале...?

Знаци во песокот

И еве ја првата приказна во „Лилавати“ - приказна опишана од францускиот филозоф Жозеф де Маистр (1753-1821).

Морнар од урнат брод брановите го фрлиле на празен брег, кој го сметал за ненаселен. Одеднаш, во крајбрежниот песок, видел трага од геометриска фигура нацртана пред некого. Тогаш сфатил дека островот не е пуст!

Цитирајќи го де Местри, Јеленски пишува: геометриска фигуратоа ќе беше тивок израз за несреќната случајност на потонатиот брод, но тој на прв поглед му ги покажа пропорцијата и бројот, а тоа навестуваше просветлен човек“. Толку од историјата.

Ве молиме имајте предвид дека истата реакција ќе ја предизвика и морнар, на пример, со цртање на буквата К,... и какви било други траги од присуство на личност. Тука е идеализирана геометријата.

Меѓутоа, астрономот Камил Фламарион (1847-1925) предложил дека цивилизациите се поздравуваат од далечина користејќи геометрија. Тој го виде ова како единствениот правилен и можен обид за комуникација. На таквите марсовци да им ги покажеме питагоровите триаголници... тие ќе ни одговорат со Талес, ние ќе им одговориме со шаблони на Виета, нивниот круг ќе се вклопи во триаголник и така започна пријателството...

На оваа идеја се вратија писатели како Жил Верн и Станислав Лем. И во 1972 година, плочки со геометриски (и други) дизајни беа поставени на сондата Pioneer, која сè уште ги минува пространствата на вселената, сега речиси 140 астрономски единици од нас (1 I е просечната оддалеченост на Земјата од Земјата) . Сонце, односно околу 149 милиони км). Плочката е развиена, меѓу другото, од астрономот Френк Дрејк, творец на контроверзното правило за бројот на вонземски цивилизации.

Геометријата е апсолутно неверојатна. На сите ни е познато општото гледиште за потеклото на оваа наука. Ние (ние луѓето) само што почнавме да ја мериме земјата (а потоа и земјата) за најутилитарни цели. Одредувањето на растојанија, цртањето прави линии, означувањето на прави агли и пресметувањето на волумените постепено стана неопходност. Оттаму потекнува сето тоа геометрија („Мерење на земјата“), оттука и целата математика...

Меѓутоа, извесно време оваа јасна слика за историјата на науката не замати. Зашто, ако математиката беше потребна само за оперативни цели, немаше да се занимаваме со докажување едноставни теореми. „Гледате дека ова генерално треба да биде вистина“, ќе кажат сите, откако ќе проверат дека во неколку правоаголни триаголници збирот на квадратите на хипотенузата е еднаков на квадратот на хипотенузата. Зошто таков формализам?

Питата со сливи мора да биде вкусна, компјутерската програма мора да работи, машината мора да работи. Ако триесет пати го пресметав капацитетот на бурето и се е во ред, тогаш зошто поинаку?

Во меѓувреме, античките Грци сфатија дека треба да најдат некои формални докази.

Значи, математиката започнува со Талес (625-547 п.н.е.). Се претпоставува дека токму Милет почнал да се прашува зошто. За паметните луѓе не е доволно што виделе нешто, што се убедени во нешто. Тие ја видоа потребата од докажување, логичен редослед на аргументи од претпоставка до теза.

Сакаа и повеќе. Веројатно Талес прв се обидел да ги објасни физичките феномени на натуралистички начин, без божествена интервенција. Европската филозофија започна со филозофијата на природата - со она што веќе стои зад физиката (оттука и името: метафизика). Но, темелите на европската онтологија и природна филозофија ги поставиле Питагорејците (Питагора, околу 580-ок. 500 п.н.е.).

Тој основал свое училиште во Кротоне на југот на Апенинскиот полуостров - денес би го нарекле секта. Науката (во сегашната смисла на зборот), мистицизмот, религијата и фантазијата се тесно испреплетени. Томас Ман многу убаво ги претстави лекциите по математика во една германска гимназија во романот Доктор Фаустус. Преведено од Марија Курецкаја и Витолд Вирпша, овој фрагмент гласи:

Во интересната книга на Чарлс Ван Дорен, „Историјата на знаењето од зората на историјата до денес“, најдов многу интересна гледна точка. Во едно од поглавјата, авторот го опишува значењето на Питагоровата школа. Самиот наслов на поглавјето ме погоди. Тоа гласи: „Изумот на математиката: Питагорејците“.

Често разговараме дали математичките теории се откриваат (како непознати земји) или се измислуваат (како што се машините што никогаш порано не постоеле). Некои креативни математичари се сметаат себеси за истражувачи, други - пронаоѓачи или дизајнери, или, поретко, калкулатори.

Но, авторот на оваа книга пишува за изумот на математиката воопшто.

Од претерување до заблуда

По овој долг воведен дел, ќе одам на самиот почеток геометрија, да опише како прекумерната верба во геометријата може да го одведе научникот на погрешен пат. Јоханес Кеплер е познат во физиката и астрономијата како откривач на трите закони за движење на небесните тела. Прво, секоја планета во Сончевиот систем се движи околу Сонцето во елипсовидна орбита, со сонцето во еден фокус. Второ, во редовни интервали водечкиот зрак на планетата, извлечен од Сонцето, црта еднакви полиња. Трето, односот на квадратот на орбиталниот период на планетата околу Сонцето до коцката на полу-главната оска на нејзината орбита (т.е. просечното растојание од Сонцето) е константен за сите планети од Сончевиот систем.

Ова можеби беше третиот закон - бараше многу податоци и пресметки за да се воспостави, што го поттикна Кеплер да продолжи да бара шема во движењето и положбата на планетите. Приказната за неговото ново „откритие“ е многу поучна. Уште од античко време, се восхитуваме не само на редовните полиедри, туку и на расудувањето кое покажува дека има само пет од нив во вселената. Тридимензионален полиедар се нарекува правилен ако неговите лица се исти правилни многуаголници и секое теме има ист број на рабови. Илустративно: секој агол на правилен полиедар треба да „изгледа исто“. Најпознатиот полиедар е коцката. Сите видоа обичен глужд.

Правилниот тетраедар е помалку познат, а на училиште се нарекува правилна триаголна пирамида. Изгледа како пирамида. Останатите три правилни полиедри се помалку познати. Октаедар се формира кога ги поврзуваме центрите на рабовите на коцката. Додекаедронот и икозаедронот веќе изгледаат како топки. Направени од мека кожа, тие би биле удобни за копање. Образложението дека нема правилни полиедри освен петте платонски цврсти материи е многу добро. Прво, сфаќаме дека ако телото е правилно, тогаш ист број (нека q) на идентични правилни многуаголници мора да се спојува на секое теме, нека бидат p-агли. Сега треба да запомниме колкав е аголот во правилен многуаголник. Ако некој не се сеќава од училиште, ве потсетуваме како да ја пронајдете вистинската шема. Отидовме зад аголот. На секое теме ротираме за ист агол a. Кога го заобиколуваме многуаголникот и се враќаме на почетната точка, сме направиле p такви вртења и вкупно сме свртеле 360 степени.

Но α е комплемент од 180 степени на аголот што сакаме да го пресметаме и затоа е еднаков на

Ја најдовме формулата за агол (математичар би рекол: мери агол) на правилен многуаголник. Ајде да провериме: во триаголникот p = 3, нема a

Како ова. Кога p = 4 (квадрат), тогаш

степени и тоа е исто така нормално.

Што добиваме за пентагон? Значи, што се случува кога има q многуаголници, при што секој p има исти агли

 степени, се спушта на едно теме? Кога би бил на рамнина, би се формирал агол

степени и не може да биде повеќе од 360 степени - затоа што тогаш многуаголниците се преклопуваат.

Меѓутоа, бидејќи овие многуаголници се среќаваат во просторот, аголот мора да биде помал од целосниот агол.

И еве ја нееднаквоста од која произлегува сето ова:

Да го поделиме со 180, да ги помножиме двата дела со p, да редиме (p-2) (q-2) < 4. Што следи? Ајде да сфатиме дека p и q мора да бидат природни броеви и дека p > 2 (зошто? А што е p?), а исто така и q > 2. Нема многу можности да се направи производот на два природни броја помали од 4. Ќе наведете ги сите во табела 1.

Не ги објавувам цртежите, сите можат да ги видат овие фигури на Интернет... На Интернет... Нема да одбијам лирска дигресија - можеби интересна за младите читатели. Во 1970 година зборував на семинар. Темата беше тешка. Имав малку време за подготовка, седев навечер. Главната статија беше достапна само за локално читање. Местото беше пријатно, со работна атмосфера, а се затвори во седум. Тогаш самата невеста (сега сопруга) се понуди да ја преработи целата статија за мене: околу десетина испечатени страници. Го препишав (не, не со пенкало, имавме дури и пенкала), предавањето беше успешно. Денеска се обидов да ја најдам оваа публикација, која е веќе стара. Се сетив само на името на авторот... Пребарувањата на интернет траеја долго... дури петнаесет минути. Размислувам за ова со насмевка и малку неоправдано жалење.

Се враќаме на Кеплера и геометрија. Очигледно, Платон го предвидел постоењето на петтата правилна форма бидејќи му недостигало нешто што обединува, што го опфаќа целиот свет. Можеби затоа наредил ученик (Тајтет) да ја бара. Како што беше, така беше, врз основа на што беше откриен додекаедронот. Овој платонски став го нарекуваме пантеизам. Сите научници, сè до Њутн, подлегнаа на тоа во поголема или помала мера. Од самиот рационален XVIII век, неговото влијание радикално се намали, иако не треба да се срамиме што сите ние подлегнуваме на тоа до еден или друг степен.

Во кеплеровиот концепт за конструирање на Сончевиот систем се беше точно, експерименталните податоци се поклопија со теоријата, теоријата беше логички хармонична, многу убава... но сосема лажна. Во негово време биле познати само шест планети: Меркур, Венера, Земја, Марс, Јупитер и Сатурн. Зошто има само шест планети? - праша Кеплер. И која шема ја одредува нивната оддалеченост од Сонцето? Претпоставуваше дека се е поврзано, тоа геометрија и космогонија се тесно поврзани едни со други. Од пишувањата на старите Грци, тој знаел дека има само пет правилни полиедри. Тој виде дека меѓу шесте орбити има пет празнини. Значи, можеби секој од овие слободни простори одговара на некој редовен полиедар?

По неколкугодишно набљудување и теоретска работа, тој ја создал следната теорија, со помош на која сосема точно ги пресметал димензиите на орбитите, кои ги претставил во книгата „Mysterium Cosmographicum“, објавена во 1596 година: Замислете гигантска сфера, чиј дијаметар е дијаметарот на орбитата на Меркур во неговото годишно движење околу Сонцето. Тогаш замислете дека на оваа сфера има правилен октаедар, на неа сфера, на неа икозаедрон, на неа повторно сфера, на неа додекаедрон, на неа друга сфера, на неа тетраедар, потоа повторно на сфера, коцка и на крај на оваа коцка е опишана топката.

Кеплер заклучил дека дијаметрите на овие последователни сфери се дијаметри на орбитите на другите планети: Меркур, Венера, Земјата, Марс, Јупитер и Сатурн. Теоријата изгледаше многу точна. За жал, ова се совпадна со експерименталните податоци. И што би можело да биде подобар доказ за исправноста на една математичка теорија од нејзината согласност со експериментални податоци или податоци за набљудување, особено „земени од небото“? Ги сумирав овие пресметки во Табела 2. Значи, што направи Кеплер? Се обидов и се обидував додека не функционираше, односно кога конфигурацијата (редоследот на сферите) и добиените пресметки се поклопија со податоците од набљудувањето. Еве ги модерните бројки и пресметки на Кеплер:

Човек може да подлегне на шармот на теоријата и да верува дека мерењата на небото се неточни, а не пресметките направени во тишината на работилницата. За жал, денес знаеме дека има најмалку девет планети и дека сите слични резултати се само случајност. Штета. Беше толку убаво...