ПА НА КОГО, односно: ПРОБАЈ КАДЕ МОЖЕШ - 2 дел

Во претходната епизода се занимававме со Судоку, аритметичка игра во која броевите во основа се подредени во различни дијаграми според одредени правила. Најчеста варијанта е шаховска табла 9×9, дополнително поделена на девет ќелии 3×3. Броевите од 1 до 9 мора да бидат поставени на него за да не се повторуваат ниту во вертикален ред (математичарите велат: во колона) ниту во хоризонтален ред (математичарите велат: во ред) - и, згора на тоа, така што не се повторуваат. повторете во кој било помал квадрат.

Na сл. 1 ја гледаме оваа загатка во поедноставна верзија, а тоа е квадрат 6 × 6 поделен на правоаголници 2 × 3. Во неа ги вметнуваме броевите 1, 2, 3, 4, 5, 6 - за да не се повторуваат вертикално, ниту хоризонтално, ниту во секој од избраните шестоаголници.

Ајде да се обидеме прикажано на горниот квадрат. Можете ли да го пополните со броеви од 1 до 6 според правилата поставени за оваа игра? Можно е - но двосмислено. Ајде да видиме - нацртајте квадрат лево или квадрат од десната страна.

Можеме да кажеме дека тоа не е основа за загатката. Обично претпоставуваме дека загатката има едно решение. Задачата да се најдат различни основи за „големото“ Судоку, 9х9, е тешка задача и нема шанси целосно да се реши.

Друга важна врска е контрадикторниот систем. Долниот среден квадрат (оној со бројот 2 во долниот десен агол) не може да се комплетира. Зошто?

Забава и повлекувања

Играме на. Да ја искористиме детската интуиција. Тие веруваат дека забавата е вовед во учењето. Ајде да одиме во вселената. вклучено сл. 2 сите ја гледаат мрежата тетраедарод топки, на пример, пинг-понг топчиња? Потсетете се на часовите по училишна геометрија. Боите на левата страна на сликата објаснуваат на што е залепена при склопување на блокот. Особено, три аголни (црвени) топки ќе бидат залепени во едно. Затоа, тие мора да бидат ист број. Можеби 9. Зошто? А зошто да не?

О, не го изразив задачи. Звучи вака: дали е можно да се впишат броевите од 0 до 9 во видливата мрежа така што секое лице ги содржи сите броеви? Задачата не е тешка, но колку треба да замислите! Нема да го расипам задоволството на читателите и нема да дадам решение.

Ова е многу убава и потценета форма. редовен октаедар, изграден од две пирамиди (=пирамиди) со квадратна основа. Како што сугерира името, октаедарот има осум лица.

Во октаедар има шест темиња. Тоа е во спротивност коцкакој има шест лица и осум темиња. Рабовите на двете грутки се исти - по дванаесет. Ова двојни цврсти материи - тоа значи дека со поврзување на центрите на лицата на коцката добиваме октаедар, а центрите на лицата на октаедарот ќе ни дадат коцка. И двете од овие испакнатини работат („затоа што мораат“) Ојлер формула: Збирот на бројот на темиња и бројот на лица е за 2 повеќе од бројот на рабовите.

3. Правилен октаедар во паралелна проекција и октаедарска решетка составена од сфери на таков начин што секој раб има четири сфери.

Работа на 1. Прво, запишете ја последната реченица од претходниот пасус користејќи математичка формула. На сл. 3 гледате октаедрална мрежа, исто така составена од сфери. Секој раб има четири топки. Секое лице е триаголник од десет сфери. Проблемот е поставен независно: дали е можно да се стават броеви од 0 до 9 во круговите на решетката, така што по лепењето на цврсто тело, секој ѕид ги содржи сите броеви (следи дека без повторување). Како и досега, најголемата тешкотија во оваа задача е како мрежата се трансформира во цврсто тело. Не можам да го објаснам писмено, затоа и тука не го давам решението.

4. Два икозаедони од топчиња за пинг-понг. Забележете ја различната шема на бои.

веќе Платон (и живеел во XNUMX-XNUMX век п.н.е.) ги знаел сите правилни полиедри: тетраедар, коцка, октаедар, Додекаедар i икосаедар. Неверојатно е како стигнал таму - без молив, без хартија, без пенкало, без книги, без паметен телефон, без интернет! Нема да зборувам за додекаедронот овде. Но, икозаедралниот судоку е интересен. Ја гледаме оваа грутка илустрација 4и нејзината мрежа карактеристика. 5.

5. Редовна мрежа на икозаедронот.

Како и досега, ова не е решетка во смисла во која се сеќаваме (?!) од училиште, туку начин на лепење триаголници од топчиња (топчиња).

Работа на 2. Колку топки се потребни за да се изгради таков икозаедрон? Дали следното размислување останува точно: бидејќи секое лице е триаголник, ако треба да има 20 лица, тогаш потребни се дури 60 сфери?

6. Решетка на икозаедрон од сфери. Секој круг е, на пример, топче за пинг-понг, но конструкцијата на кругови на кругови означени со иста боја се спојува во едно. Значи, имаме дванаесет сфери (= дванаесет темиња: црвена, сина, виолетова, сина и осум жолти).

Лесно е да се види дека три броја во икозаедронот не се доволни. Поточно: невозможно е да се набројат темињата со броевите 1, 2, 3 така што секое (триаголно) лице ги има овие три броја и нема повторувања. Дали е можно со четири броја? Да, можно е! Ајде да погледнеме Ориз. 6 и 7.

7. Еве како се нумерираат сферите што го сочинуваат икозаедронот така што секое лице содржи броеви различни од 1, 2, 3, 4. Кое од телата на сл. 4 е вака обоена?

Работа на 3. Три од четирите броеви може да се изберат на четири начини: 123, 124, 134, 234. Најдете пет такви триаголници во икозаедронот на сл. 7 (како и од илустрации 4).

Задача 4 (потребна е многу добра просторна имагинација). Икозаедронот има дванаесет темиња, што значи дека може да се залепи заедно од дванаесет топчиња (сл. 7). Забележете дека има три темиња (=топки) означени со 1, три со 2 итн. Така, топчињата со иста боја формираат триаголник. Што е овој триаголник? Можеби рамностран? Погледни повторно илустрации 4.

Следна задача за дедо / баба и внук / внука. И родителите конечно можат да се обидат, но им треба трпение и време.

Работа на 5. Купете дванаесет (по можност 24) топчиња за пинг-понг, околу четири бои боја, четка и вистинскиот лепак - не ги препорачувам брзите како Superglue или Droplet бидејќи тие се сушат премногу брзо и се опасни за децата. Лепак на икозаедронот. Облечете ја вашата внука во маица која веднаш потоа ќе ја измиете (или фрлите). Покријте ја масата со фолија (по можност со весници). Внимателно обојте го икозаедронот со четири бои 1, 2, 3, 4, како што е прикажано на сл. сл. 7. Можете да го промените редоследот - прво обојте ги балоните и потоа залепете ги. Во исто време, ситните кругови мора да се остават необоени за бојата да не се залепи за бојата.

Сега најтешката задача (поточно, целата нивна низа).

Задача 6 (Поконкретно, општата тема). Нацртај го икозаедронот како тетраедар и октаедар на Ориз. 2 и 3 Ова значи дека треба да има четири топчиња на секој раб. Во оваа варијанта, задачата е и одзема време, па дури и скапа. Да почнеме со тоа што ќе откриеме колку топки ви се потребни. Секое лице има десет сфери, па на икозаедронот му требаат двесте? Не! Мора да запомниме дека многу топки се делат. Колку рабови има икозаедронот? Може макотрпно да се пресмета, но за што служи Ојлеровата формула?

w–k+s=2

каде што w, k, s се бројот на темиња, рабови и лица, соодветно. Се сеќаваме дека w = 12, s = 20, што значи k = 30. Имаме 30 рабови на икозаедронот. Можете да го направите тоа поинаку, бидејќи ако има 20 триаголници, тогаш тие имаат само 60 рабови, но два од нив се вообичаени.

Ајде да пресметаме колку топки ви требаат. Во секој триаголник има само една внатрешна топка - ниту на врвот на нашето тело, ниту на работ. Така, имаме вкупно 20 такви топки. Има 12 врвови. Секој раб има две не-теме топчиња (тие се внатре во работ, но не и внатре во лицето). Бидејќи има 30 рабови, има 60 џамлии, но два од нив се делат, што значи дека ви требаат само 30 џамлии, значи ви требаат вкупно 20 + 12 + 30 = 62 џамлии. Топките може да се купат за најмалку 50 пени (обично поскапи). Ако ги додадете трошоците за лепилото, ќе излезе ... многу. Доброто поврзување бара неколкучасовна макотрпна работа. Заедно тие се погодни за релаксирачка забава - ги препорачувам наместо, на пример, гледање телевизија.

Повлекување 1. Во серијата филмови на Анджеј Вајда, Години, денови, двајца мажи играат шах „бидејќи некако треба да го поминат времето до вечерата“. Се одржува во галициски Краков. Навистина: весниците се веќе прочитани (тогаш имаа 4 страници), ТВ и телефон сè уште не се измислени, нема фудбалски натпревари. Досада во баричките. Во таква ситуација, луѓето смислија забава за себе. Денеска ги имаме по притискање на далечинскиот ...

Повлекување 2. На состанокот на Здружението на наставници по математика во 2019 година, шпански професор демонстрираше компјутерска програма што може да обои цврсти ѕидови во која било боја. Беше малку морничаво, бидејќи само ги нацртаа рацете, речиси го отсекоа телото. Си помислив: колку можеш да се забавуваш од ваквото „засенчување“? Сè трае две минути, а до четвртата ништо не се сеќаваме. Во меѓувреме, старомодните „иглање“ смируваат и воспитуваат. Кој не верува нека се обиде.

Да се ​​вратиме на XNUMX век и на нашата реалност. Ако не сакаме опуштање во форма на лепење на топчиња што одземаат многу време, тогаш ќе нацртаме барем решетка од икозаедрон, на чии рабови има четири топчиња. Како да се направи тоа? Исечете го правилно карактеристика. 6. Внимателниот читател веќе го погодува проблемот:

Работа на 7. Дали е можно да се набројат топчињата со броеви од 0 до 9, така што сите овие бројки се појавуваат на секоја страна на таков икозаедрон?

За што сме платени?

Денес често си го поставуваме прашањето за целта на нашите активности, а „сивиот даночен обврзник“ ќе праша зошто треба да им плаќа на математичарите да решаваат вакви загатки?

Одговорот е прилично едноставен. Ваквите „загатки“, интересни сами по себе, се „фрагмент од нешто посериозно“. На крајот на краиштата, воените паради се само надворешен, спектакуларен дел од тешката служба. Ќе дадам само еден пример, но ќе почнам со еден чуден, но меѓународно признат математички предмет. Во 1852 година, еден англиски студент го прашал својот професор дали е можно да се обои мапа со четири бои, така што соседните земји секогаш се прикажуваат во различни бои? Дозволете ми да додадам дека не ги сметаме за „соседи“ оние што се среќаваат само во еден момент, како што се државите Вајоминг и Јута во САД. Професорот не знаел... а проблемот чекал на решение повеќе од сто години.

8. Икозаедрон од блоковите RECO. Рефлекторите со блиц покажуваат што е заедничко икозаедронот со триаголникот и петаголникот. На секое теме се спојуваат пет триаголници.

Тоа се случи на неочекуван начин. Во 1976 година, група американски математичари напишаа програма за решавање на овој проблем (и тие одлучија: да, четири бои секогаш ќе бидат доволни). Ова беше првиот доказ за математички факт добиен со помош на „математичка машина“ - како што се нарекуваше компјутерот пред половина век (а уште порано: „електронски мозок“).

Еве специјално прикажана „карта на Европа“ (сл. 9). Тие земји кои имаат заедничка граница се поврзани. Боењето на мапата е исто како и боењето на круговите на овој график (наречен график) така што ниеден поврзан круг нема да има иста боја. Погледот на Лихтенштајн, Белгија, Франција и Германија покажува дека три бои не се доволни. Ако сакате, Читателу, обојте го со четири бои.

9. Кој со кого се граничи во Европа?

Па, да, но дали вреди парите на даночните обврзници? Значи, да го погледнеме истиот графикон малку поинаку. Заборавете дека постојат држави и граници. Нека круговите симболизираат пакети со информации што треба да се испраќаат од една до друга точка (на пример, од P до EST), а сегментите претставуваат можни врски, од кои секоја има своја пропусност. Испрати што е можно поскоро?

Прво, да погледнеме една многу поедноставена, но и многу интересна ситуација од математичка гледна точка. Мораме да испратиме нешто од точката S (= како почеток) до точката M (= завршница) користејќи мрежа од конекции со ист пропусен опсег, да речеме 1. Ова го гледаме во сл. 10.

10. Мрежа на врски од Стациика Здрој до Мегаполис.

Да замислиме дека околу 89 бита информации треба да се испратат од S до M. На авторот на овие зборови му се допаѓаат проблемите со возовите, па си замислува дека е менаџер во Стејси Здрој, од каде што треба да испрати 144 вагони. до метрополската станица. Зошто токму 144? Бидејќи, како што ќе видиме, ова ќе се користи за пресметување на пропусната моќ на целата мрежа. Капацитетот е 1 во секој лот, т.е. еден автомобил може да помине по единица време (еден информативен бит, можеби и Гигабајт).

Ајде да се погрижиме сите автомобили да се сретнат во исто време во М. Секој ќе стигне таму за 89 единици време. Ако имам многу важен пакет со информации од S до M да испратам, го делам во групи од 144 единици и го туркам како погоре. Математиката гарантира дека ова ќе биде најбрзо. Како знаев дека ти требаат 89? Јас всушност погодив, но ако не погодив, ќе морав да го сфатам Кирхофови равенки (се сеќава ли некој? - ова се равенки што го опишуваат протокот на струја). Пропусниот опсег на мрежата е 184/89, што е приближно еднакво на 1,62.

За радоста

Инаку, ми се допаѓа бројот 144. Ми се допадна да се возам со автобус со овој број до плоштадот замок во Варшава - кога до него немаше обновен Кралски замок. Можеби младите читатели знаат што се дузина. Тоа се 12 примероци, но само постарите читатели паметат дека десетина т.е. 122=144, ова е т.н. И секој што знае математика малку повеќе од училишната програма веднаш ќе го разбере тоа сл. 10 имаме фибоначи броеви и дека пропусниот опсег на мрежата е блиску до „златниот број“

Во низата Фибоначи, 144 е единствениот број што е совршен квадрат. Сто четириесет и четири е исто така „радосна бројка“. Така индиски аматерски математичар Дататреја Рамачандра Капрекар во 1955 година, тој ги именувал броевите што се деливи со збирот на нивните составни цифри:

Да знаеше Адам Мицкиевич, тој сигурно би напишал не во Џјади: „Од чудна мајка; крвта му се старите јунаци / И името му е четириесет и четири, само поелегантно: И името му е сто четириесет и четири.

Сфатете ја забавата сериозно

Се надевам дека ги убедив читателите дека судоку загатките се забавната страна на прашањата кои секако заслужуваат сериозно да се сфатат. Не можам повеќе да ја развивам оваа тема. О, целосна пресметка на пропусниот опсег на мрежата од дијаграмот даден на сл. 9 пишувањето систем на равенки би траело два или повеќе часа - можеби дури и десетици секунди (!) работа на компјутер.