Патување во нереалниот свет на математиката

Ја напишав оваа статија една среда по предавање и вежбање на факултет за компјутерски науки. Се бранам од критиките на учениците од ова училиште, нивното знаење, односот кон науката и најважното: вештините за учење. Ова... никој не ги учи.

Зошто сум толку одбранбен? Од едноставна причина - јас сум на возраст кога, веројатно, светот околу мене сè уште не е разбран. Можеби ги учам како да ги впрегнуваат и откачуваат коњите, наместо да возат кола? Можеби ги учам да пишуваат со пенкало? Иако имам подобро мислење за личноста, верувам дека „следам“, но...

До неодамна во средно училиште зборуваа за сложени броеви. И токму во оваа среда дојдов дома, дадов отказ - речиси никој од студентите сè уште не научи што е тоа и како да ги користат овие бројки. Некои луѓе гледаат на целата математика како гуска на обоена врата. Но и јас бев искрено изненаден кога ми кажаа како да учам. Едноставно, секој час предавање е два часа учење дома: читање учебник, почетна обука за решавање проблеми на дадена тема итн. Откако се подготвивме на овој начин, доаѓаме до вежбите, каде што подобруваме сè... Пријатно, студентите очигледно мислеа дека седењето на предавање - најчесто гледањето низ прозорецот - веќе гарантира дека знаењето ќе влезе во главата.

Стоп! Тоа е доволно. Ќе го опишам мојот одговор на прашање што го добив за време на час со колеги од Националниот детски фонд, институција која поддржува талентирани деца од целата земја. Прашањето (поточно предлогот) беше:

- Можете ли да ни кажете нешто за нереалните бројки?

„Се разбира“, одговорив. 

Реалноста на бројките

„Пријател е друг јас, пријателството е односот на броевите 220 и 284“, рече Питагора. Поентата овде е дека збирот на делителите на бројот 220 е еднаков на 284, а збирот на делителите на бројот 284 е еднаков на 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Патем, забележете дека библискиот Јаков му дал на Исав 220 овци и овни како знак на пријателство (Битие 32:14).

Друга интересна коинциденција помеѓу броевите 220 и 284 е ова: седумнаесетте највисоки прости броеви се 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, и 59.

Нивниот збир е 2x220, а збирот на квадратите е 59x284.

Прво. Не постои концепт на „вистински број“. Тоа е како откако ќе прочитате статија за слоновите да прашате: „Сега ќе бараме неслонови“. Има цели и нецелосни, рационални и ирационални, но нереални нема. Поточно: броевите кои не се реални не се нарекуваат неважечки. Постојат многу видови на „броеви“ во математиката, и тие се разликуваат една од друга како - да земеме зоолошка споредба - слон и дождовен црв.

Второ, ќе извршиме операции за кои можеби веќе знаете дека се забранети: земање квадратни корени на негативни броеви. Па, математиката ќе ги надмине таквите бариери. Дали ова има смисла сепак? Во математиката, како и во секоја друга наука: дали една теорија засекогаш ќе влезе во складиштето на знаење зависи... од нејзината примена. Ако е бескорисен, тогаш завршува во ѓубре, па во некое ѓубре во историјата на знаењето. Без бројките за кои зборувам на крајот од оваа статија, невозможно е да се развие математика. Но, да почнеме со некои мали нешта. Знаете што се реални броеви. Цврсто и без празнини ја пополнуваат бројната линија. Знаете и што се природни броеви: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - сите тие нема да се вклопат меморија дури и најголема. Имаат и убаво име: природно. Тие имаат толку многу интересни својства. Како ви се допаѓа ова:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Природно е да се интересираме за природните броеви“, рече Карл Линденхолм, а Леополд Кронекер (1823–1891) кратко го кажаа: „Бог ги создал природните броеви - сè друго е дело на човекот!“ Дропките (наречени рационални броеви од математичарите) исто така имаат неверојатни својства:

и во еднаквост:

можете, почнувајќи од левата страна, да ги истриете плусовите и да ги замените со знаци за множење - и еднаквоста ќе остане вистинска:

И така натаму.

Како што е познато, за дропките a/b, каде што a и b се цели броеви и b ≠ 0, велат рационален број. Но, така се нарекуваат само на полски. Зборуваат англиски, француски, германски и руски. рационален број. На англиски: рационални броеви. Ирационални броеви Тоа е ирационално, ирационално. Зборуваме и на полски за ирационални теории, идеи и дела - ова е лудост, имагинарно, необјасниво. Велат дека жените се плашат од глувци - колку е тоа ирационално?

Во античко време, бројките имале душа. Секој значеше нешто, секој симболизираше нешто, секоја одразуваше честичка од таа хармонија на Универзумот, односно, на грчки, Космос. Самиот збор „космос“ значи „ред, ред“. Најважни беа шест (совршениот број) и десет, збирот на последователните броеви 1+2+3+4, составени од други броеви, чија симболика преживеала до денес. Така Питагора научи дека бројките се почеток и извор на сè, и само откритие ирационални броеви го сврте питагоровото движење кон геометријата. Ние го знаеме расудувањето од училиште дека

√2 - ирационален број

За да претпоставиме дека постои: и дека оваа дропка не може да се намали. Особено, и p и q се непарни. Ајде да го квадратиме: 2q²=p². Бројот p не може да биде непарен, бидејќи тогаш стр² би било исто, но на левата страна од еднаквоста има множител од 2. Тоа значи дека p е парен, т.е. p = 2r, што значи p²= 4 години². Да ја намалиме равенката 2q²= 4 години² со 2. Добиваме q²= 2 години² и гледаме дека q исто така мора да биде рамномерно, а претпоставивме дека не е. Произлезената противречност го комплетира доказот – оваа формула често може да се најде во секоја математичка книга. Овој индиректен доказ е омилена техника на софистите.

Оваа неизмерност не можеше да ја разберат Питагорејците. Сè мора да може да се опише со бројки, а дијагоналата на квадрат, што секој може да го нацрта со стап во песок, нема, односно мерлива должина. „Нашата вера беше залудна“, се чини дека велат Питагорејците. Како тоа? Тоа е некако... ирационално. Унијата се обиде да се спаси со секташки методи. Секој што ќе се осмели да го открие своето постоење ирационални броеви, требало да биде казнет со смрт, а, очигледно, првата казна ја извршил самиот мајстор.

Но, „мислата помина неповредена“. Златното доба пристигна. Грците ги поразиле Персијците (маратон 490, Плаче 479). Демократијата зајакна, се појавија нови центри на филозофска мисла и нови школи. Следбениците на питагоризмот сè уште се бореле со ирационални бројки. Некои проповедаа: нема да ја сфатиме оваа мистерија; можеме само да размислуваме за тоа и да му се восхитуваме на Uncharted. Вторите беа попрагматични и не ја почитуваа Тајната. Во тоа време се појавија два ментални конструкти кои овозможија разбирање на ирационалните броеви. Фактот што ние денес ги разбираме доста добро му припаѓа на Евдокс (XNUMX век п.н.е.), а дури на крајот на XNUMX век германскиот математичар Ричард Дедекинд ѝ дал соодветен развој на теоријата на Евдокс во согласност со барањата на строгата математичка логика.

Многу бројки или тортура

Дали би можеле да живеете без бројки? Па и да, каков живот би бил... Ќе требаше да одиме до продавница да купиме чевли со стап, со кои претходно ја меревме должината на стапалото. „Би сакал јаболка, ох, еве го! – ќе ги покажевме продавачите на пазарот. „Колку е далеку од Модлин до Нови Двор Мазовјецки“? „Прилично блиску!“

Броевите се користат за мерење. Ги користиме и за да изразиме многу други концепти. На пример, скалата на картата покажува колку е намалена површината на земјата. Скалата два спрема еден, или едноставно 2, го изразува фактот дека нешто е двојно зголемено. Да речеме математички: секоја хомогеност одговара на број - неговата скала.

Задача. Направивме ксерографска копија, зголемувајќи ја сликата неколку пати. Потоа зголемениот фрагмент повторно беше зголемен b пати. Која е општата скала за зголемување? Одговор: a × b помножено со b. Овие ваги треба да се множат. Бројот минус еден, -1, одговара на една прецизност што е центрирано, односно ротација од 180 степени. Кој број одговара на ротација од 90 степени? Таков број нема. Тоа е, тоа е... или подобро кажано, ќе биде наскоро. Дали сте подготвени за ментална тортура? Бидете храбри и земете го квадратниот корен од минус еден. Слушам? Што не можете да направите? На крајот на краиштата, ти реков да бидеш храбра. Извади го! Еј, добро, повлече, повлече... Јас ќе помогнам... Еве: −1 Сега кога го имаме, ајде да се обидеме да го искористиме... Се разбира, сега можеме да ги земеме корените на сите негативни броеви, за пример.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- „без оглед на душевната болка што ја повлекува ова“. Ова го напишал Џироламо Кардано во 1539 година, обидувајќи се да ги надмине менталните тешкотии поврзани со - како што наскоро станало наречено - имагинарни количини. Мислеше вака...

...Задача. Поделете 10 на два дела, чиј производ е еднаков на 40. Се сеќавам дека од претходната епизода напиша вака: Очигледно невозможно. Сепак, ајде да го направиме ова: подели 10 на два еднакви дела, секој еднаков на 5. Помножете ги - добиваме 25. Од добиените 25 сега одземаме 40, ако сакате, и добиваме -15. Сега погледнете: √-15 додадено и одземено од 5 ви дава производ од 40. Тие бројки се 5-√-15 и 5 + √-15. Резултатот беше потврден од Кардано на следниов начин:

„Без оглед на менталната болка што ја повлекува ова, помножете 5 + √-15 со 5-√-15. Добиваме 25 – (-15), што е еднакво на 25 + 15. Значи, производот е 40…. Навистина е тешко“.

Па, колку е тоа: (1 + √-1) (1-√-1)? Ајде да се множиме. Запомнете дека √-1 × √-1 = -1. Одлично. Сега потежок проблем: од a + b√-1 до ab√-1. Што се случи? Се разбира, вака: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Што е интересно за ова? На пример, фактот дека можеме да ги факторизираме изразите што „не ги знаевме порано“. Скратена формула за множење за²-b² веројатно се сеќавате на формулата за²+b² тоа не се случи бидејќи не можеше да се случи. Во доменот на реални броеви, полиномот²+b² ова е неизбежно. Да го означиме „нашиот“ квадратен корен од „минус еден“ со буквата i.²= -1. Ова е „нереален“ прост број. И ова е она што опишува авион кој се врти за 90 степени. Зошто? После се,²= -1, а комбинирањето на една ротација од 90 степени со друга слична ротација произведува ротација од 180 степени. Каков тип на ротација се опишува? Јасно е - вртење од 45 степени. Што значи бројот -i? Малку е покомплицирано:

(-Јас)² = -i × (-i) = + i² = -1

Значи -i исто така опишува ротација од 90 степени, токму во спротивна насока од ротацијата на i. Кој е лев, а кој е десен? Мора да закажете состанок. Претпоставуваме дека бројот i ја одредува ротацијата во насока што математичарите ја сметаат за позитивна: спротивно од стрелките на часовникот. Бројот -i опишува ротација во насоката во која се движат покажувачите.

Но, дали постојат такви броеви како јас и -i? Дали! Едноставно ги оживеавме. Слушам? Дека тие постојат само во нашите глави? Па, што да очекуваме? Сите други бројки исто така постојат само во нашиот ум. Треба да видиме дали нашите новороденчиња ќе преживеат. Поточно, дали дизајнот е логичен и дали ќе бидат корисни за нешто? Ве молам, земете го мојот збор за тоа дека сè е во ред и дека овие нови броеви се навистина корисни. Броевите како 3+i, 5-7i, во поопшта форма: a+bi се нарекуваат сложени броеви. Ви покажав како можете да ги добиете со ротирање на авионот. Може да се внесуваат на различни начини: како точки на рамнина, како одредени полиноми, како одредени нумерички низи... и секој пат се исти: равенка x² +1=0 нема елемент... хокус покус веќе постои!!!! Да се ​​радуваме и да се радуваме!!!

Крај на турата

Ова ја завршува нашата прва турнеја низ земјата на лажните броеви. Од другите неземни броеви ќе ги спомнам и оние кои имаат бескрајно многу цифри напред а не позади (тие се викаат 10-адични, за нас поважни се p-adic, каде што p е прост број), на пример X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Ајде да броиме X ве молам². Затоа што? Што ако го пресметаме квадратот на број кој зад себе има бесконечен број цифри? Па, ајде да го сториме истото. Ајде да дознаеме дека Х² = Х.

Да најдеме уште еден таков број со бесконечен број цифри напред што ја задоволува равенката. Совет: Квадратот на број што завршува на шест завршува и на шест. Квадратот на број што завршува на 76, исто така, завршува на 76. Квадратот на бројот што завршува на 376, исто така, завршува на 376. Квадратот на бројот што завршува на 9376, исто така, завршува на 9376. Квадратот на бројот што завршува на XNUMX... Има и бројки кои се толку мали што, иако се позитивни, остануваат помали од кој било друг позитивен број. Тие се толку ситни што понекогаш е доволно да ги квадратите за да добиете нула. Има броеви кои не го задоволуваат условот a × b = b × a. Има и бесконечни броеви. Колку природни броеви има? Бесконечно многу? Да, но колку? Со кој број може да се изрази ова? Одговор: најмалиот од бесконечните броеви; се означува со убава буква: А и се дополнува со нулта индекс А₀ , алеф-нула.

Има и бројки за кои не знаеме дека постојат... или во кои можеме да веруваме или да не веруваме како сакаш. А кога зборуваме за тоа: се надевам дека сè уште ви се допаѓаат нереални броеви, фантастични броеви на видови.