Зошто не делиме со нула?
содржина
Читателите можеби се прашуваат зошто посветувам цела статија на толку тривијално прашање? Причината е фрапантниот број студенти (!) кои невнимателно ја спроведуваат операцијата наречена. И не само студенти. Понекогаш фаќам и наставници. Што можат учениците на таквите наставници да прават по математика? Непосредна причина за пишување на овој текст бил разговор со наставник за кој делењето со нула не било проблем...
Со нула, да, ништо друго освен мака, затоа што навистина не треба да го користиме во секојдневниот живот. Не одиме во продавница за нула јајца. „Има едно лице во собата“ звучи некако природно, но „нула луѓе“ звучи вештачко. Лингвистите велат дека нулата е надвор од јазичниот систем.
Можеме и без нула во банкарските сметки: едноставно со користење - како термометар - црвена и сина за позитивни и негативни вредности (забележете дека за температурата е природно да се користи црвено за позитивни броеви, а за банкарски сметки е спротивно, бидејќи дебитното треба да предизвика предупредување, па затоа црвената боја е многу препорачлива).
Со вклучување на нулата како природен број, го допираме проблемот на диференцијација Кардинални броеви od домаќинство. Во рок од 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
моќноста на бројот се совпаѓа со бројот на местото на кое стои. Инаку веќе е во низата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…..
Бројот на множества со еден елемент е на второ место, бројот на множества со два елементи е трето, итн. Мораме да објасниме зошто, на пример, не ги нумериме местата на спортистите во натпреварите од нула. Првопласираниот потоа би добил сребрен медал (злато ќе му припадне на нулато место), итн. Слична постапка се користеше во фудбалот - не знам дали читателите знаат дека „прва лига“ значи „следниот најдобар“ . “, а нултата лига е повикана да стане „голема лига“.
Понекогаш го слушаме аргументот дека треба да почнеме од нула затоа што е погодно за ИТ луѓето. Продолжувајќи со ова размислување, треба да се смени дефиницијата за километар - тој треба да биде 1024 m, бидејќи тоа е бројот на бајти во килобајт (ќе се осврнам на анегдота позната на информатичарите: „Која е разликата помеѓу прво- година студент по информатика и петта година на овој факултет?Дека килобајт е 1000 килобајти, второто - дека километар е 1024 метри“)!
Друг момент што веќе треба сериозно да се сфати е ова: ние секогаш мериме од нула! Само погледнете во која било вага на линијар, на вага за домаќинство, дури и на часовник. Бидејќи мериме од нула, а броењето може да се сфати како мерење со бездимензионална единица, треба да броиме од нула.
Тоа е едноставна работа, но ...
Да го оставиме општото расудување и да се вратиме на делењето со нула. Работата е едноставна и би била едноставна ако не... па што? Ајде да размислиме и да се обидеме. Колку може да биде - еден поделен со нула? Ајде да видиме: 1/0 = x. Помножете ги двете страни со именителот на левата страна.
Добиваме 1=0. Дали нешто не е во ред! Што се случи? Ах, претпоставка! Претпоставката дека има количник од еден и нула води до контрадикција. И ако еден број не може да се подели со нула, тогаш може да се подели друг број. Ако, читателу, креваш раменици и се чудиш зошто авторот (т.е. јас) пишува за такви баналности, тогаш... многу ми е мило!
Формулата 0/0 = 0 може тврдоглаво да се аргументира, но таа е во спротивност со правилото дека резултатот од делењето број сам по себе е еднаков на еден. Сосема, но сосема различни се симболите како 0/0, °/° и слично во математичката анализа. Тие не значат никаков број, туку се симболична ознака на одредени низи од одредени типови.
Најдов интересна споредба во една електротехничка книга: делењето со нула е исто толку опасно како и високонапонската струја. Ова е нормално: Омовиот закон вели дека односот на напонот и отпорот е еднаков на струјата: V = U/R. Ако отпорот е нула, теоретски бесконечна количина струја би течела низ проводникот, согорувајќи ги сите можни проводници.
Еднаш напишав песна за опасностите од делењето со нула - за секој ден во неделата. Се сеќавам дека најдраматичен ден беше четвртокот, но жал ми е за целата моја работа во оваа област.
Кога делите нешто со нула
Многу рано во понеделник
Неделата што штотуку се случи
Веќе сте целосно неуспешни.
Кога во вторник попладне
Ставаш нула во именителот
Ќе ти кажам тогаш, не си во право
Мојот лош математичар!
Кога преку нула, низ перверзност,
Дали сакате да споделите во среда?
Ќе влезете во многу проблеми
Имаш сено и вода во главата!
Со нас беше извесен Бартек.
Тој беше во спротивност со правилата.
Во четврток се дели со нула.
Тој повеќе не е меѓу нас!
Ако те обземе чудна желба,
Поделете со нула во петок
Ќе кажам право, искрено:
Лош почеток на овој викенд.
Кога ќе погоди нула, некаде во сабота
Разделникот ќе биде ваш (не задебелен)
Клекнете под црковната ограда.
Ова е твоето неделно покајание.
Дали сакате нула под цртичката?
Поставете го празникот во недела
Донесете креда, црна табла.
Напиши: не се дели со нула!
Нулата е поврзана со празнината и ништожноста. Навистина, таа дојде до математиката како величина која, кога ќе се додаде на која било вредност, не ја менува: x + 0 = x. Но, сега нулата се појавува во неколку други значења, особено како почеток на скалата. Ако надвор од прозорецот нема ниту температура над нулата, ниту мраз, тогаш... тоа е нула, што не значи дека воопшто нема температура. Споменик од нулта класа не е споменик што е одамна срушен и едноставно не постои. Напротив, тоа е нешто како Вавел, Ајфеловата кула и Статуата на слободата.
Па, важноста на нулата во позиционен систем не може да се прецени. Дали знаеш, читателу, колку нули има Бил Гејтс на својата банкарска сметка? Не знам, но би сакал половина. Очигледно, Наполеон Бонапарта забележал дека луѓето се како нули: тие добиваат значење преку позицијата. Во филмот на Анджеј Вајда како што минуваат годините, како што минуваат деновите, страсниот уметник Јержи експлодира: „Филистеј е нула, нихил, ништо, ништо, нихил, нула“. Но, нулата може да биде добра: „нула отстапување од нормата“ значи дека сè оди добро и држете го така!
Да се вратиме на математиката. Нулата може неказнето да се собира, одзема и множи. „Се здебелив нула килограми“, ѝ кажува Мања на Ања. „И тоа е интересно, затоа што ја изгубив истата тежина“, одговара Ања. Па, ајде да јадеме шест порции сладолед шест пати, нема да ни наштети.
Не можеме да делиме со нула, но можеме да делиме со нула. Чинија со нула кнедли лесно може да се пренесе на оние кои чекаат храна. Колку ќе добие секој човек?
Нулата не е позитивна или негативна. Ова е бројот непозитивнии не-негативни. Ги задоволува неравенките x≥0 и x≤0. Контрадикцијата „нешто позитивно“ не е „нешто негативно“, туку „нешто негативно или еднакво на нула“. Математичарите, спротивно на правилата на јазикот, секогаш ќе кажат дека нешто е „нула“ наместо „нула“. За да ја оправдаме оваа практика имаме: ако ја прочитаме формулата x = 0 „x е еднакво на нула“, тогаш x = 1 читаме „x е еднакво на еден“, што може да се проголта, но што е со „x = 1534267“? Исто така, не можете да доделите нумеричка вредност на знакот 00ниту да се подигне нула на негативна моќност. Од друга страна, можеш да искорениш нула по желба... и резултатот секогаш ќе биде нула,
Експоненцијална функција y = ax, позитивната основа на a, никогаш не станува нула. Следи дека не постои нулта логаритам. Навистина, логаритамот од a до основата b е експонент до кој основата мора да се подигне за да се добие логаритамот на a. Кога a = 0 нема таков индикатор, а нулата не може да биде основа на логаритмот. Меѓутоа, нулата во „именителот“ на симболот на Њутн е нешто друго. Претпоставуваме дека овие договори не водат кон противречност.
Лажни докази
Поделбата со нула е вообичаена тема за лажни докази, а тоа им се случува дури и на искусни математичари. Дозволете ми да ви дадам два од моите омилени примери. Првиот е алгебарски. Ќе „докажам“ дека сите броеви се еднакви. Да претпоставиме дека има два броја кои не се еднакви. Затоа, еден од нив е поголем од другиот, нека a > b. Да претпоставиме дека c е нивната разлика
c = a – b. Значи имаме a – b = c, од каде a = b + c.
Ние ги множиме двете страни на второто со a – b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Ак го поместувам на лева страна, секако се сеќавам на промената на знакот:
a2 – ab – ac = ab – b2 – bc.
Исклучувам заеднички фактори:
A(a-b-c) = b(a-b-c),
Споделувам и го имам она што го сакав:
a = b.
А всушност уште почудно, затоа што претпоставив дека a > b, и добив дека a = b. Додека во примерот погоре „мамењето“ е лесно да се препознае, во геометрискиот доказ долу не е така лесно. Ќе докажам дека... трапезот не постои. Фигурата вообичаено наречена трапез не постои.
Но, ајде прво да претпоставиме дека постои такво нешто како трапез (ABCD на сликата подолу). Има две паралелни страни („основи“). Да ги прошириме овие основи, како што е прикажано на сликата, така што ќе добиеме паралелограм. Неговите дијагонали ја делат другата дијагонала на трапезот на отсечки чии должини се означени x, y, z, како во слика 1. Од сличноста на соодветните триаголници ги добиваме пропорциите:
од каде одредуваме:
ораз
од каде одредуваме:
Одземете ги страните на еднаквоста означени со ѕвездички:
Скратувајќи ги двете страни за x − z, добиваме – a/b = 1, што значи a + b = 0. Но, броевите a, b се должини на основите на трапезот. Ако нивниот збир е нула, тогаш тие самите се нула. Ова значи дека фигура како трапез не може да постои! А бидејќи и правоаголниците, ромбовите и квадратите се трапезоиди, тогаш, драг читателу, нема ниту ромбови, правоаголници и квадрати...
Како тоа
Споделувањето е најинтересната и најпредизвикувачката од четирите основни активности. Овде за првпат се среќаваме со феноменот што е толку вообичаен во зрелоста: „погодете го одговорот, а потоа проверете дали точно сте погодиле“. Даниел К. Денет го кажа тоа многу прецизно („Како да се прават грешки?“, во Како е - научен водич за универзумот, CiS, Варшава, 1997 година):
Овој метод на „погодување“ не се меша во нашите зрели животи - можеби затоа што го учиме рано, а погодувањето не е тешко. Идеолошки, истиот феномен се јавува, на пример, во математичката (целосна) индукција. Таму ја „погодуваме“ формулата и потоа проверуваме дали нашата претпоставка е точна. Учениците секогаш прашуваат: „Како требаше да ја знаеме шемата? Како можам да го извадам?" Кога студентите ми го поставуваат ова прашање, го претворам нивното прашање во шега: „Го знам ова затоа што сум професионалец, затоа што сум платен да го знам ова“. На учениците на училиште може да им се одговори во ист стил, само посериозно.
Вежба. Забележете дека собирањето и пишувањето го започнуваме со единица од понизок ред, а делењето со единица од повисок ред.
Комбинација на две идеи
Наставниците по математика отсекогаш истакнувале дека она што го нарекуваме поделба во зрелоста е спој на две концептуално различни идеи: Домување i разделба.
Првиот од нив (Домување) се јавува во проблеми каде што архетипот е:
Сплит-подели тоа се задачи како што се:
? (го задржуваме оригиналниот стил на овој проблем, преземен од референтната книга на Јулијан Згозалевич, објавена во Краков во 1892 година - злота е ринската злота, валута во оптек во Австро-унгарската империја до почетокот на XNUMX век) .
Сега разгледајте два проблеми со најстариот учебник по математика на полски јазик, татко Томаш Клос (1538). Дали е ова дивизија или купе? Решете го како што доликува на учениците во XNUMX век:
(Превод од полски на полски: Во бурето има кварта и четири лонци. Садот е четири литри. Некој купил 20 буриња вино за 50 злоти за трговија. Царината и данокот (акциза?) ќе бидат 8 злоти. Колку да се продаде кварта за да заработите 8 злоти?)
Спорт, физика, конгруентност
Понекогаш во спортот треба да се подели нешто со нула (однос на голови). Па, судиите некако се справуваат со тоа. Сепак, во апстрактната алгебра тие се на дневен ред. ненулти количиничиј квадрат е нула. Ова дури може да се објасни едноставно.
Размислете за функција F која доделува точка (y, 0) на точка на рамнината (x, y). Што е Ф2, односно двојно извршување на F? Нулта функција - секоја точка има слика (0,0).
Конечно, ненулта величина чиј квадрат е 0 се речиси секојдневен леб за физичарите, а броевите од формата a + bε, каде ε ≠ 0, но ε2 = 0, викаат математичарите двојни броеви. Тие се наоѓаат во математичката анализа и диференцијалната геометрија.
На крајот на краиштата, има нешто во аритметиката што има делење со нула барем по име. Ова доаѓа од конгруентност. Нека Z означува множество цели броеви. Поделувањето на множеството Z со p значи дека секој број (цел број) го изедначуваме со некои други, имено оние што ја делат нивната разлика. Значи, кога имаме пет типа на броеви кои одговараат на броевите 0, 1, 2, 3, 4 - можни остатоци кога се делат со 5. Формулата е напишана вака:
mod кога разликата е повеќекратна.
На = 2 имаме само два броја: 0 и 1. Поделувањето на цели броеви во две такви класи е еквивалентно на нивно делење на парни и непарни. Ќе го замениме сега. Разликата секогаш е делива со 1 (било кој цел број е делив со 1). Можеме ли да земеме =0? Ајде да се обидеме: кога разликата помеѓу два броја е множител на нула? Само кога овие два броја се еднакви. Значи, делењето множество цели броеви со нула има смисла, но не е забавно: ништо не се случува. Сепак, треба да се нагласи дека ова не е поделба на броеви во смисла позната од основно училиште.
Ваквите акции се едноставно забранети, како што е долгата и широка математика.
Ориз. 2. Идентификување на броеви со помош на споредба
(дрво 5 и дрво 2)
